Содержание

Как сделать усеченный конус из металла?

Как согнуть конус из металла своими руками

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Иногда в ходе выполнения тех или иных хозяйственных работ мастер встаёт перед проблемой изготовления конуса – полного или усеченного. Это могут быть операции, скажем, с тонким листовым металлом, эластичным пластиком, обычной тканью или даже бумагой или картоном. А задачи встречаются самый разные – изготовление кожухов, переходников с одного диаметра на другой, козырьков или дефлекторов для дымохода или вентиляции, воронок для водостоков, самодельного абажура. А может быть даже просто маскарадного костюма для ребенка или поделок, заданных учителем труда на дом.

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Чтобы из плоского материала свернуть объёмную фигуру с заданными параметрами, необходимо вычертить развертку. А для этого требуется рассчитать математически и перенести графически необходимые точные размеры этой плоской фигуры. Как это делается – рассмотрим в настоящей публикации. Помогут нам в этом вопросе калькуляторы расчета размеров развертки конуса.

Колпак на дымоход своими руками

Хозяева домов зачастую прибегают к использованию элементов в виде различных колпаков и зонтов, служащих, как это кажется на первый взгляд, для украшения дымовых труб. В то же время такие насадки не только улучшают эстетическое восприятие строения, но и обеспечивают полезную функциональность. Обычно так называемый козырек для дымохода изготавливается собственными силами, так как для этого не требуется серьезных знаний и умений. Хотя наряду с простой конструкцией этих элементов встречаются достаточно замысловатые поделки, которые проблематично соорудить без соответствующего опыта.

Конструктивные особенности

Колпак на дымоход представляет собой устройство, предназначенное для защиты трубы от попадания влаги. Внешний вид таких козырьков может быть различен, что имеет зависимость как от предпочтений хозяина дома, так и от конфигурации трубы.

Колпаки на трубу дымохода включают в себя:

зонтик – устанавливаемая на вершине колпака защита от осадков, посторонних предметов и проникновения птиц, внешний вид которой имеет форму пирамиды, конуса или соответствует другой геометрии;
фартук – часть колпака, отвечающая за защиту верха трубы от стекающей с зонтика воды. Обычно установка этого элемента производится при оснащении прямоугольной или квадратной трубы. В результате гарантируется увеличение срока службы дымохода, так как удается практически исключить вероятность появления коррозии и грибка;
кронштейны – крепежные элементы, представляющие собой металлические полоски, которые позволяют соединить козырек и фартук. Непосредственное крепление в данном случае производится за счет использования сварки.

Имейте в виду! Собрать колпак для дымохода вполне реально самому, но только в том случае, если вы хотите установить достаточно простой флюгарок. Модели, отличающиеся большей сложностью в плане конструктивных особенностей, гораздо выгоднее заказать или купить.

При наличии выбора лучше всего отдать предпочтение тем моделям, которые оборудованы открывающейся крышкой. Это позволит проводить профилактический осмотр дымохода и его чистку без каких-либо проблем, что связано с комфортом доступа.

Колпак на дымоход долгого срока использования может быть изготовлен только из железа, устойчивого к коррозии: оцинкованная сталь, алюминий и медь. В последнем случае предлагаемый металл обладает ярко выраженным декоративным характером, так как его переливы на солнце могут придать вашем дому определенную респектабельность.

Одевают оголовок на трубу дымохода чтобы гасить искры. Это одно из его предназначений. Поэтому качество железа должно быть хорошим, тем самым оно долго не прогорит.

В связи с тем, что дымоходы отличаются разнообразием форм и размеров, производители колпаков также предлагают широкий ассортимент продукции. Если вы решите украсить свое жилище и продлить срок жизни дымохода, то придется выбирать среди большого ассортимента флюгарок:

Стандартные – зонт на дымоход в виде пирамидки, для изготовления которой используется листовой металл, а крепление к фартуку осуществляется посредством кронштейнов.
Четырехскатные – устанавливается преимущественно на прямоугольные трубы, выполненные из кирпича. По форме соотносится с вальмовой крышей с четырьмя скатами.
С полукруглым зонтиком – визуально отличается красотой, но обеспечивает недостаточную тягу. Преимущественно используется для установки на дымоходах домов, которые построены по европейским стандартам.
Плоские – часто можно встретить на зданиях в стиле модерн. Имеет прямоугольную форму и отличается таким недостатком, как повышенная нагрузка на кронштейны, что в некоторых случаях приводит к их деформации. Это связано с плоской крышей колпака, которая не дает возможность скатываться снегу. Данный факт определяет возникновение упомянутой проблемы.
Круглые с конусообразным зонтиком – модели без капельника, устанавливаемые на выполненные из нержавейки дымоходы круглого сечения.

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Несколько слов о рассчитываемых параметрах

Понять принцип расчета будет несложно, разобравшись со следующей схемой:

Усеченный конус с определяющими размерами и его развёртка. Показан усеченный конус, но с полным — принцип не меняется, а расчеты и построение становятся даже проще.

Итак, сам конус определяется радиусами оснований (нижней и верхней окружности) R1 и R2, и высотой Н. Понятно, что если конус не усеченный, то R2 просто равно нулю.

Буквой L обозначена длина боковой стороны (образующей) конуса. Она в некоторых случаях уже известна – например, требуется сделать конус по образцу или выкроить материал для обтяжки уже имеющегося каркаса. Но если она неизвестна – не беда, ее несложно рассчитать.

Справа показана развёртка. Она для усеченного конуса ограничена сектором кольца, образованного двумя дугами, внешней и внутренней, с радиусами Rb и Rs. Для полного конуса Rs также будет равен нулю. Хорошо видно, что Rb = Rs + L

Угловую длину сектора определяет центральный угол f, который в любом случае предстоит рассчитать.

Все расчеты займут буквально минуту, если воспользоваться предлагаемыми калькуляторами:

Шаг 1 – определение длины образующей L

(Если она уже известна – шаг пропускается)

Шаг 2 – определение радиусов внутренней и внешней дуги развертки

Радиусы рассчитываются поочередно – с выбором в соответствующем поле калькулятора.

Виды вальцевания

К основным видам вальцовки относятся следующие:

Вальцевание труб (развальцовка) — применяется для изменения радиуса трубы.
Вальцовка листового металла
— процедура сгибания листа металла в радиус.

Вальцовка труб осуществляется на трубогибных станках, которые способны выполнить вальцевание труб диаметром до 30 см. На таком же оборудовании обрабатываются уголки, швеллеры и прочие детали.

Вальцевание в радиус применяется для нержавеющих, черных, оцинкованных металлов различной толщины: стали, алюминия, меди. Для листов с толщиной свыше 10 мм требуется разогрев. Металлические листы до 10 мм толщиной сгибаются в холодном состоянии. Один из более сложных технологических процессов вальцевания листового металла

— это изготовление конусов. Также у нас имеется оборудование, на котором производятся конические и цилиндрические обечайки.

Если вам требуется вальцовка листового металла в Москве

— наша компания готова выполнить услуги под заказ качественно, на высоком профессиональном уровне. Мастера обладают колоссальным опытом и изготавливают детали с максимально точным радиусом. Они досконально знают принцип работы оборудования, скрупулезно соблюдают технологию, придерживаются всех нюансов обработки металла.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S. Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π2. Соответственно, S’’5’’1 – натуральная величина S5.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S16, S65, S54, S43, S32, S21. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S16 длина S1=S’’1’’, S6=S’’6’’1, 16=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
Находим положение точек A, B, C на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
Соединяем точки A, B, C плавной линией.

Основание конуса

Чтобы узнать радиус основания конусного каркаса, линейкой производят измерение диаметра нижней части заготовки, представляющую собой бумажную (картонную) боковую поверхность.

Для большей точности линейку прикладывают к краям заготовки и измеряют расстояние в двух перпендикулярных направлениях. Вычисляют среднее значение диаметра и делят пополам. В итоге получают величину радиуса основания бумажного конуса.

Циркулем на приготовленном втором листе бумаги чертят окружность, радиус которой равен половине диаметра основания конуса. На этом этапе изготовления нужно примерить основание уже сделанной боковой поверхности к нарисованному кругу. И, если всё совпадает, тогда приступают к следующему шагу.

Поставив ножку циркуля в центр начерченного круга, увеличивают раздвижение циркуля, делая припуск в 1,5 сантиметра, и рисуют ещё одну окружность.

По черте внешней окружности вырезается ножницами круг и делаются надрезы по всему периметру от края вырезанного круга до линии внутренней окружности.

Насечки загибают в одну сторону под углом 90 градусов. Получается дно конуса с загнутыми краями для соединения с боковой поверхностью.

Остаётся промазать клеем нижнюю внутреннюю часть боковины клеем на глубину 1,5 см и аккуратно вставить изготовленное дно насечками внутрь конуса.

Как сделать развертку – выкройку для конуса или усеченного конуса заданных размеров. Простой расчет развертки.

Иногда возникает задача – изготовить защитный зонт для вытяжной или печной трубы, вытяжной дефлектор для вентиляции и т.п. Но прежде чем приступить к изготовлению, надо сделать выкройку (или развертку) для материала. В интернете есть всякие программы для расчета таких разверток. Однако задача настолько просто решается, что вы быстрее рассчитаете ее с помощью калькулятора (в компьютере), чем будете искать, скачивать и разбираться с этими программами.

Начнем с простого варианта — развертка простого конуса. Проще всего объяснить принцип расчета выкройки на примере.

Допустим, нам надо изготовить конус диаметром D см и высотой H сантиметров. Совершенно понятно, что в качестве заготовки будет выступать круг с вырезанным сегментом. Известны два параметра – диаметр и высота. По теореме Пифагора рассчитаем диаметр круга заготовки (не путайте с радиусом готового конуса). Половина диаметра (радиус) и высота образуют прямоугольный треугольник. Поэтому:

Итак, теперь мы знаем радиус заготовки и можем вырезать круг.

Вычислим угол сектора, который надо вырезать из круга. Рассуждаем следующим образом: Диаметр заготовки равен 2R, значит, длина окружности равна Пи*2*R — т.е. 6.28*R. Обозначим ее L. Окружность полная, т.е. 360 градусов. А длина окружности готового конуса равна Пи*D. Обозначим ее Lm. Она, естественно, меньше чем длина окружности заготовки. Нам нужно вырезать сегмент с длиной дуги равной разности этих длин. Применим правило соотношения. Если 360 градусов дают нам полную окружность заготовки, то искомый угол должен дать длину окружности готового конуса.

Из формулы соотношения получаем размер угла X. А вырезаемый сектор находим путем вычитания 360 – Х.

Из круглой заготовки с радиусом R надо вырезать сектор с углом (360-Х). Не забудьте оставить небольшую полоску материала для нахлеста (если крепление конуса будет внахлест). После соединения сторон вырезанного сектора получим конус заданного размера.

Например: Нам нужен конус для зонта вытяжной трубы высотой (Н) 100 мм и диаметром (D) 250 мм. По формуле Пифагора получаем радиус заготовки – 160 мм. А длина окружности заготовки соответственно 160 x 6,28 = 1005 мм. В тоже время длина окружности нужного нам конуса — 250 x 3,14 = 785 мм.

Тогда получаем, что соотношение углов будет такое: 785 / 1005 x 360 = 281 градус. Соответственно вырезать надо сектор 360 – 281 = 79 градусов.

Расчет заготовки выкройки для усеченного конуса.

Такая деталь бывает нужна при изготовлении переходников с одного диаметра на другой или для дефлекторов Вольперта-Григоровича или Ханженкова. Их применяют для улучшения тяги в печной трубе или трубе вентиляции.

Задача немного осложняется тем, что нам неизвестна высота всего конуса, а только его усеченной части. Вообще же исходных цифр тут три: высота усеченного конуса Н, диаметр нижнего отверстия (основания) D, и диаметр верхнего отверстия Dm (в месте сечения полного конуса). Но мы прибегнем к тем же простым математическим построениям на основе теоремы Пифагора и подобия.

В самом деле, очевидно, что величина (D-Dm)/2 (половина разности диаметров) будет относиться с высотой усеченного конуса Н так же, как и радиус основания к высоте всего конуса, как если бы он не был усечен. Находим полную высоту (P) из этого соотношения.

Отсюда Р = D x H / (D-Dm).

Теперь зная общую высоту конуса, мы можем свести решение задачи к предыдущей. Рассчитать развертку заготовки как бы для полного конуса, а затем «вычесть» из нее развертку его верхней, ненужной нам части. А можем рассчитать непосредственно радиусы заготовки.

Получим по теореме Пифагора больший радиус заготовки — Rz. Это квадратный корень из суммы квадратов высоты P и D/2.

Меньший радиус Rm – это квадратный корень из суммы квадратов (P-H) и Dm/2.

Теперь осталось рассчитать угол сектора, который надо вырезать.

Длина окружности нашей заготовки равна 2 х Пи х Rz, или 6,28 х Rz. А длина окружности основания конуса – Пи х D, или 3,14 х D. Соотношение их длин и дадут соотношение углов секторов, если принять, что полный угол в заготовке – 360 градусов.

Т.е. Х / 360 = 3,14 x D / 6.28 x Rz

Отсюда Х = 180 x D / Rz (Это угол, который надо оставить, что бы получить длину окружности основания). А вырезать надо соответственно 360 – Х.

Например: Нам надо изготовить усеченный конус высотой 250 мм, диаметр основание 300 мм, диаметр верхнего отверстия 200 мм.

Находим высоту полного конуса Р: 300 х 250 / (300 – 200) = 600 мм

По т. Пифагора находим внешний радиус заготовки Rz: Корень квадратный из (300/2)^2 + 6002 = 618,5 мм

По той же теореме находим меньший радиус Rm: Корень квадратный из (600 – 250)^2 + (200/2)^2 = 364 мм.

Определяем угол сектора нашей заготовки: 180 х 300 / 618,5 = 87.3 градуса.

На материале чертим дугу с радиусом 618,5 мм, затем из того же центра – дугу радиусом 364 мм. Угол дуги может имеет примерно 90-100 градусов раскрытия. Проводим радиусы с углом раскрытия 87.3 градуса. Наша заготовка готова. Не забудьте дать припуск на стыковку краев, если они соединяются внахлест.

Константин Тимошенко © 31.07.2014 г.

Конус, как напечатать картинку?

Home
Инструкции
Конус, как напеч� .

Этот вопрос возникает при сублимационном термотрансфере на конические предметы, например, кружку латте или при прямой печати на сувенирных принтерах.

Бумажный или пластиковый стаканчик

Самый распространенный конический предмет, с которым сталкиваются абсолютно все люди — это стаканчик. Он может быть бумажным или пластиковым, с принтом или без, но неизменным остается одно — это форма! Коническая фома стаканчика была выбрана не просто так, она имеет неоспоримое преимущество перед цилиндрической.

Форма конуса позволяет вставлять один стаканчик в другой, тем самым получается сформировать компактную упаковку из десятков изделий. Форма цилиндра не позволяет этого сделать. Итак, подобная конусообразная форма делает удобнее хранение, транспортировку и реализацию стаканчиков.

Однако, при необходимости напечатать картинку на конусообразном предмете, возникают некоторые технические и дизайнерские сложности. Сразу обращаю ваше внимание, что стаканчик является усеченным конусом, и далее рассматриваемый способ подготовки принта для печати, будет основан именно на построении макета усеченного конуса и подходит для любых подобных предметов, например, для кружек латте.

Развертка усеченного конуса

Для правильной печати прямоугольного изображения на конусе, нам нужно наложить его на развертку усеченного конуса и деформировать в соответствии со сторонами развертки.

Построение развертки

Есть как минимум два способа построения: ручные расчеты и программные. Для первого способа можно воспользоваться стандартными геометрическими формулами.

Ручной расчет

* Расчет взят с сайта ngeometry .

Программный расчет

Воспользуемся бесплатным сервисом Templatemaker (© Ideogram). Перейдем в раздел Cone (truncated) внесем в поля нужные нам значения.

Программное построение развертки усеченного конуса

Выбираем единицы измерения — mm.
Основные параметры. Top Diameter — верхний диаметр, нашем случае — это горловина стаканчика. Bottom Diameter — нижний диаметр, применительно к стаканчику — это дно. Как видим, наш конус перевернут и устремляется вниз а не вверх. ) Ну такие они, стаканчики. )
Дополнительные параметры. Glue Flap Angle — угол клеевого клапана. Glue Flap Size — размер клеевого клапана. Для печати принта данный параметр не нужен, поэтому в оба поля проставляем нули.
Document options — параметры документа. Для печати принта данный параметр не применяется. Нужен для печати самой развертки с клеевым клапаном, в случае сборки усеченного конуса из бумаги или картона (papercraft).
Формат выходного файла (экспорт). Выбираем векторные (DFX, SVG) в случае последующего импорта в CorelDRAW или Inkspace или растровые (PNG, JPEG) в случае последующего импорта в PhotoSHOP и подобные редакторы. Возможен выбор PDF формата — это контейнер который можно импортировать и в векторные и в растровые редакторы.
Нажимаем кнопку Create! и указываем куда сохранить файл.
Благодарим автора генератора, если есть возможность.

Построение принта

В векторной программе

Импортируем полученную в генераторе векторную развертку в CorelDRAW, затем импортируем или вставляем из буфера нужное для печати изображение. Дальнейшие шаги можно посмотреть на видео How to create the printing image for conical mugs with CorelDRAW . Взято на канале Print Equipment GmbH & Co. KG . Как создать печатное изображение для конических кружек с помощью CorelDRAW

Простое автоматическое деформирование растрового изображения под векторную форму развертки усеченного конуса, с помощью инструмента “Envelope” (Конверт), показано в видео Latte mug distortion with Corel Draw 2018. Взято на канале Alan Drury Signwriting .

Искажение растровых и векторных объектов для печати кружек латте с помощью Corel Draw 2018 и инструмента “Envelope” (Конверт)

Ещё один вариант построения взят на may-small-blog. Переходим по ссылке , статья называется “Искривление дизайна под этикетку на конус в Иллюстраторе.”

В растровой программе

Открываем полученную в генераторе растровую развертку в PhotoShop, на верхний слой размещаем изображение. Деформирование растровой картинки с помощью инструмента Warp показано на видео Latte Mug Placing a design using Photoshop for Sublimation. Взято на канале Sublimation for Beginners and Beyond .

В специализированных САПР

На видео Warping & 3D Conical cups показан процесс наложения готового дизайна на развертку стаканчика, с помощью системы проектирования упаковки PACKZ . Взято на канале HYBRID Software .

PACKZ – Warping & 3D Conical cups

Компания Esko-Graphics BV, в дополнение к ArtiosCAD , предлагает своё решение по дизайну принтов для этикеток нестандартной формы — программный инструмент Studio для Adobe Illustrator. На видео Warp artwork on conical labels with Studio, пример деформации рисунка для конических этикеток. Взято на канале Esko .

Warp artwork on conical labels with Studio

Компания Appsforlife Software предлагает своё решение для создания конических этикеток — Boxshot 5 . Пройдя по этой ссылке вы найдете инструкцию по работе с Boxshot 5 для создания Conical Labels.

Инструкция по работе с Boxshot 5 для создания Conical Labels

Как сделать ровный конус из бумаги. Как сделать развертку – выкройку для конуса или усеченного конуса заданных размеров. Простой расчет развертки

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Печать конусообразных стаканчиков на принтере

Самый простой вариант — это печать на сувенирном принтере с помощью поворотного устройства. Видео взято на канале Andrey Printcompany.

Печать на конусном бокале. UV-принтер

Промышленный вариант, высокоскоростная UV-печать на специализированных принтерах. Видео 3sixty CMYK UV-print on cone shaped product взято на канале ACG Fyrtal.

Высокоскоростная UV-печать на специализированных принтерах

Ещё один промышленный UV-принтер — Inkjet Cylinder Printing Machine – The X360. Видео взято на канале Inkcups.
Inkjet Cylinder Printing Machine – The X360

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Несколько слов о рассчитываемых параметрах

Понять принцип расчета будет несложно, разобравшись со следующей схемой:

Угловую длину сектора определяет центральный угол f, который в любом случае предстоит рассчитать.

Все расчеты займут буквально минуту, если воспользоваться предлагаемыми калькуляторами:

Шаг 1 – определение длины образующей L

(Если она уже известна – шаг пропускается)

Шаг 2 – определение радиусов внутренней и внешней дуги развертки

Радиусы рассчитываются поочередно – с выбором в соответствующем поле калькулятора.

Бумажный или пластиковый стаканчик

Форма конуса позволяет вставлять один стаканчик в другой, тем самым получается сформировать компактную упаковку из десятков изделий. Форма цилиндра не позволяет этого сделать. Итак, подобная конусообразная форма делает удобнее хранение, транспортировку и реализацию стаканчиков.

Развертка наклонного конуса

Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S. Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π2. Соответственно, S’’5’’1 – натуральная величина S5.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S16, S65, S54, S43, S32, S21. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S16 длина S1=S’’1’’, S6=S’’6’’1, 16=1’6’.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
Находим положение точек A, B, C на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
Соединяем точки A, B, C плавной линией.

Круглый конус в геометрии

Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.

Круг называется основанием фигуры, его окружность — это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются — это вершина конуса.

Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.

Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.

Определение диаметра через объем и высоту

Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:

Здесь S — площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:

Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:

Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.

Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.

Гибка металла на вальцах

07 Дек 2013 Рубрика: Механика |

За последнее время ко мне было несколько обращений от читателей блога за помощью в решении одной и той же задачи: как при работе на трехвалковых листогибочных вальцах и профилегибах определить окончательное местоположение среднего ролика (валка)…

…относительно положения крайних роликов (валков), которое обеспечит гибку (вальцовку) заготовки с определенным заданным необходимым радиусом? Ответ на этот вопрос позволит повысить производительность труда при гибке металла за счет уменьшения количества прогонов заготовки до момента получения годной детали.

В этой статье вы найдете теоретическое

решение поставленной задачи. Сразу оговорюсь – на практике я этот расчет не применял и, соответственно, не проверял результативность предлагаемого метода. Однако я уверен, что в определенных случаях гибка металла может быть выполнена гораздо быстрее при использовании этой методики, чем обычно.

Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании

Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.

Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g — это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:

При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.

Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:

Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.

Технология гибки листового металла своими руками

В процессе строительства дома или дачи зачастую появляется необходимость в оборудовании водостоков, канализации, каркасов из металла.

При изготовлении подобных изделий необходимо придать плоской заготовке необходимую пространственную форму. Советы опытных мастеров, как загнуть лист металла в домашних условиях, позволят изготавливать конструкции хорошего качества, которые прослужат долгое время.

Технология гибки – основные сведения

Сгибание металла выполняют без сварочных швов, что позволяет избежать коррозии в дальнейшем и получить изделие повышенной прочности. Деформация не требует значительных усилий и выполняется, как правило, в холодном состоянии.

Исключение составляют твердые материалы, вроде дюрали или углеродистых сталей. Технология гибки листового металла разрабатывается соответственно поставленным задачам в таких вариантах, как:

Выкройка овального и наклонного конуса

Круглый конус в геометрии

Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Какую фигуру будем изучать?

Круглый прямой усеченный конус представляет собой два круга, имеющих разный диаметр, которые расположены в параллельных плоскостях. Окружности этих кругов соединены прямыми отрезками равной длины, именуемых образующими фигуры. Расстояние между круглыми основаниями называется высотой. Описанная фигура показана ниже на фото.

Получить ее можно двумя принципиально отличающимися геометрическими способами. Во-первых, можно взять обычный круглый конус и параллельной его основанию плоскостью отсечь верхнюю часть. Такое действие приведет к образованию верхнего (малого) основания усеченного конуса. Во-вторых, можно взять трапецию с двумя прямыми углами и вращать ее вокруг стороны, ограниченной этими углами. Сторона трапеции, вокруг которой будет происходить вращение, называется осью фигуры. Две параллельные стороны трапеции опишут круглые основания во время вращения, а четвертая наклонная сторона образует боковую поверхность фигуры.

Схема выше демонстрирует получение усеченного конуса с помощью сечения плоскостью.

Получение фигуры с помощью вращения

Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.

Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c — это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.

Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b — его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.

Вид развертки конуса

Как можно догадаться, конус образован двумя типами поверхностей. Одна из них — это плоский круг основания. Предположим, что он имеет радиус r. Вторая поверхность является боковой и называется конической. Пусть ее образующая будет равна g.

Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем, коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса. Две поверхности вместе с исходным конусом показаны на схеме ниже.

Внизу справа изображен круг основания. По центру показана развернутая коническая поверхность. Оказывается, что она соответствует некоторому круговому сектору круга, радиус которого равен длине образующей g.

Как построить развертку поверхности прямого усеченного конуса

Делим основание конуса на 12 равных частей (вписываем правильную пирамиду). Данные элементы построения уже готовы из чертежа «Сечение конуса плоскостью частного положения».

Строим развертку боковой поверхности конуса, которая представляет собой круговой сектор. Центр его радиуса принимается за вершину конуса, а величина радиуса кругового сектора конуса равна длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. На дугу сектора переносим 12 хорд, которые определят ее длину, а также угол кругового сектора.

К центральной точке дуги сектора боковой развертки усеченного конуса пристраиваем основание конуса. Его основание проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекции.

На развертке конуса к его основанию пристраиваем натуральную величину сечения.

Две крайние образующие конуса, которые формируют его основной контур, проецируются на фронтальную плоскость проекции в натуральную величину, поэтому их можно сразу переносить на развертку боковой поверхности конуса. Так как часть его срезана фронтально проецирующей плоскостью, то перенесем на развертку конуса только крайнюю правую усеченную образующую. Остальные усеченные образующие конуса проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажением. Их натуральную величину находят способом вращения вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций.

Сам принцип нахождения натуральных величин образующих усеченного конуса сводится к тому, что проводят из точек пересечения образующих с плоскостью горизонтальную прямую до крайней правой (левой) образующей и на ней отмеряют натуральные их величины. Все действия проводят на фронтальной плоскости проекции.

На каждой образующей, лежащей на развертке боковой поверхности конуса, откладываем действительные длины усеченных образующих. Полученные точки соединяем плавной кривой линией команда Сплайн в Автокад.

Мы выполнили задачу начертательной геометрии на построение развертки усеченного конуса, но чтобы не возникло проблем во время ее защиты (когда я обучался, каждая курсовая по начертательной геометрии защищалась), еще раз рассмотрим принцип вращения для нахождения натуральной величины усеченной образующей конуса.

«Их натуральную величину находят способом вращения вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций.» Когда мы вращаем образующую прямого конуса до положения параллельного фронтальной плоскости проекции, то ее траектория описывает дугу на горизонтальной плоскости проекции, а на фронтальной прямую!

Вы можете не проводить линии связи с горизонтальной плоскости проекции на фронтальную, ведь очевидно, что точка будет лежать на крайней основной образующей контура конуса для каждой образующей при нахождении ее натуральной величины. Поэтому сам принцип вращения по нахождению натуральной величины образующих конуса сводится к проведению из точек усеченных образующих горизонтальной прямой до основной образующей контура конуса.

В видеоуроке очень наглядно и подробно показан принцип построения развертки прямого усеченного конуса.

Угол и площадь развертки

Теперь получим формулы, которые по известным параметрам g и r позволяют рассчитать площадь и угол развертки конуса.

Очевидно, что дуга кругового сектора, показанного выше на рисунке, имеет длину, равную длине окружности основания, то есть:

Если бы весь круг радиусом g был построен, то его бы длина составила:

Поскольку длина L соответствует 2*pi радианам, тогда угол, на который опирается дуга l, можно определить из соответствующей пропорции:

Тогда неизвестный угол φ будет равен:

Подставляя выражения для длин l и L, приходим к формуле для угла развертки боковой поверхности конуса:

Угол φ здесь выражен в радианах.

Для определения площади Sb кругового сектора воспользуемся найденным значением φ. Составляем еще одну пропорцию, только уже для площадей. Имеем:

Откуда следует выразить Sb, а затем, подставить значение угла φ. Получаем:

Для площади конической поверхности мы получили достаточно компактную формулу. Величина Sb равна произведению трех множителей: числа пи, радиуса фигуры и ее образующей.

Тогда площадь всей поверхности фигуры будет равна сумме Sb и So (площадь круглого основания). Получаем формулу:

Построение развертки конуса на бумаге

Для выполнения этой задачи понадобится лист бумаги, карандаш, транспортир, линейка и циркуль.

В первую очередь начертим прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Его вращение вокруг катета в 3 см даст искомый конус. У фигуры r = 3 см, h = 4 см, g = 5 см.

Построение развертки начнем с рисования циркулем окружности радиусом r. Ее длина будет равна 6*pi см. Теперь рядом с ней нарисуем еще одну окружность, но уже радиусом g. Ее длина будет соответствовать 10*pi см. Теперь нам нужно от большой окружности отрезать круговой сектор. Его угол φ равен:

Теперь откладываем транспортиром этот угол на окружности с радиусом g и проводим два радиуса, которые будут ограничивать круговой сектор.

Таким образом, мы построили развертку конуса с указанными параметрами радиуса, высоты и образующей.

Как построить развертку конуса и нанести на ней линию их пересечения?

Построить развертку конуса можно 2 путями:

Разделить основание конуса на 12 частей (вписываем правильный многогранник – пирамиду). Можете разделить основание конуса и на большее или меньше количество частей, т.к. чем меньше хорда, тем точнее построение развертки конуса. Затем на дугу кругового сектора перенести хорды.
Построение развертки конуса, по формуле определяющей угол кругового сектора.

Так как нам необходимо нанести на развертку конуса линии пересечения конуса и цилиндра, то нам все равно придется делить основание конуса на 12 частей и вписывать пирамиду, поэтому мы пойдем сразу по 1 пути построения развертки конуса.

Построение развертки конуса

Развертка поверхности конуса — это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S₀A₀B₀. Длины его сторон S₀A₀ и S₀B₀ равны образующей l конической поверхности. Величина A₀B₀ соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S₀A₀B₀ в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S₀A₀=l, после чего из точек S₀ и A₀ проводим окружности радиусом S₀B₀=l и A₀B₀= A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B₀ с точками A₀ и S₀.

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’₁ занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π₂. Соответственно, S’’5’’₁ – натуральная величина S5.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S₀1₀6₀, S₀6₀5₀, S₀5₀4₀, S₀4₀3₀, S₀3₀2₀, S₀2₀1₀. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S₀1₀6₀ длина S₀1₀=S’’1’’₀, S₀6₀=S’’6’’₁, 1₀6₀=1’6’.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’₁, SC=S’’C’’₁.
Находим положение точек A₀, B₀, C₀ на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S₀A₀=S’’A’’, S₀B₀=S’’B’’₁, S₀C₀=S’’C’’₁.
Соединяем точки A₀, B₀, C₀ плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.