Содержание

Условие прочности при растяжении сжатии имеет вид

Тема 2.2. Растяжение и сжатие

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы N, а прочие силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Это самый простой и часто встречающийся вид деформации. Обычно он наблюдается когда внешняя нагрузка действует вдоль продольной оси стержня. Продольной осью стержня называется линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений.

Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 1.

Рис. 1. Растяжение стержня

Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня, расчетная схема в рассматриваемых случаях (рис. 1, а, б) оказывается единой (рис. 1, в) согласно принципу Сен – Венана.

Если воспользоваться методом сечений (рис. 2), то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N_z, равные силе F (рис. 2, б).

Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы N_z. При растяжении нормальная сила N_z направлена от сечения (рис. 2, б), а при сжатии – к сечению.

Рис. 2. Нормальная сила N

Растягивающие продольные силы принято считать положительными (рис. 3, а), а сжимающие – отрицательными (рис. 3, б).

Рис. 3. Знак продольной силы N

При расчете стержней, испытывающий деформацию растяжения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от N_z), возникающих в стержне, и нахождение линейных перемещений в зависимости от внешней нагрузки.

Продольные силы (N_z), возникающие в поперечных сечениях стержня, определяются по внешней нагрузке с помощью метода сечений.

График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой продольных сил (эп. N_z). Он дает наглядное представление о законе изменения продольной силы.

Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти N_max при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

Перед построением эпюр необходимо освободить брус, в котором будем строить эпюры от опорных связей (выделить объект равновесия) и приложить к нему все действующие внешние силы (активные и реактивные). Затем необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом стержня.

Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.

На основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения, на его продольную ось.

Причем проекция внешней силы берется со знаком плюс, если сила растягивает часть стержня от точки ее приложения до рассматриваемого сечения и, наоборот, со знаком минус – если сжимает.

§2. Напряжение в поперечных сечениях стержня

При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил ,остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют — гипотезой плоских сечений. На основании указанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив продольную силу N на площадь А: σ=N/A

Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние силы. В формулe следует подставлять алгебраическое значение N т.е со знаком плюс в случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия

§3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии

Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение σ не превосходит допускаемого [σ] : σ=N/A≤ [σ],

где N — абсолютное продольной силы в сечении;

А — площадь поперечного сечения;

[σ] — допускаемое напряжение пр растяжении или сжатии для материала стержня.

Данное выражение определяет условие прочности при растяжении или сжатии.

С помощью этой формулы решается три вида зада (выполняется три вида расчета):

1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силы N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым [σ].

Превышение рабочего (расчетного) напряжения не должно быть больше 5% , иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.

В случаях, когда рабочее напряжения значительно ниже допускаемых σ

Условие прочности при растяжении сжатии

Условие прочности при растяжении (сжатии) выражается неравенством:

где [σ] – допускаемые напряжения, определяются как:

n – коэффициент запаса прочности, устанавливаемый нормативными документами.

Условие прочности позволяет решать три типа задач:

1. Проверка прочности (проверочный расчет)

2. Подбор сечения (проектировочный расчет)

3. Определение грузоподъемности (допускаемой нагрузки)

Условие жесткости

Условие жесткости стержня

Условие жесткости узла стержневой системы

Потенциальная энергия упругой деформации стержня

Кручение круглых валов

Кручением называется такой вид нагружения (деформации), при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T(рис 5.1). Этот вид нагружения возникает при приложении к брусу пар сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси. Такие брусья принято называть валами.

Внешние пары, приложенные к валу, будем называть скручивающими моментами. Они могут быть сосредоточенными М₁, М₂, …, М_n или распределенными m по длине вала l. Крутящий момент является равнодействующим моментом напряжений, возникающих в каком-либо сечении вала относительно его продольной оси.

Внутренний крутящий момент

При определении величины крутящего момента используется метод сечений. Суть его заключается в следующем: рассекаем вал сечением и отбрасываем одну из частей вала, расположенную либо справа, либо слева от сечения.

Обычно отбрасывают ту часть, к которой приложено больше скручивающих пар. Действие отброшенной части на рассматриваемую заменяют внутренним силовым фактором – крутящим моментом T. Затем из условий равновесия остановленной части вала определяют крутящий момент:

Таким образом, крутящий момент в каком либо сечении вала является уравновешивающей парой сил всех внешних скручивающих пар, приложенных либо слева, либо справа от рассматриваемого сечения.

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений

Максимальное касательное напряжение

Геометрические характеристики круглых сплошных сечений вала:

— полярный момент инерции

— полярный момент сопротивления

Деформации вала

Условия прочности и жесткости вала

Расчет вала при кручении сводится к одновременному удовлетворению двух условий:

Прямой поперечный изгиб

Поперечным изгибом называется такой вид деформирования бруса, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно к его продольной оси. Деформация изгиба заключается в искривлении оси бруса. Брус с прямой осью, работающий на изгиб, называется балкой. Если плоскость действия внешних нагрузок проходит через ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения, изгиб называется прямым. В этом случае ось балки искривляется в плоскости действия нагрузок и является плоской кривой.

В сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y

Правила контроля построения эпюр Q и М при изгибе (рис. 6.1).

Дифференциальные зависимости между q, Q_y и М_х имеют вид:

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, — на эпюре Q_y скачок по модулю равный этой силе, на эпюре М_х – излом навстречу силе.

2. В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, — на эпюре М_х скачок по модулю равный этой паре сил. На эпюре Q_y это не сказывается.

3.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то Q_y изменяется по линейному закону, М_х – по параболе, выпуклостью навстречу нагрузке q (М_х = М_экстр – в сечении, где Q_y меняет свой знак).

Изгиб называется чистым, если в сечении балки возникает только изгибающий момент М_х.

Условие прочности при растяжении сжатии

Условие прочности при растяжении (сжатии) выражается неравенством:

где [σ] – допускаемые напряжения, определяются как:

n – коэффициент запаса прочности, устанавливаемый нормативными документами.

Условие прочности позволяет решать три типа задач:

1. Проверка прочности (проверочный расчет)

2. Подбор сечения (проектировочный расчет)

3. Определение грузоподъемности (допускаемой нагрузки)

38. Допускаемое напряжение

Допускаемое (допустимое) напряжение — это значение напряжения, которое считается предельно приемлемым при вычислении размеров поперечного сечения элемента, рассчитываемого на заданную нагрузку.

Допускаемые напряжения либо предписываются компетентной инстанцией, либо выбираются конструктором, хорошо знающим свойства материала и условия его применения. Допускаемым напряжением ограничивается максимальное рабочее напряжение конструкции.

39. Закон Гука для сдвига.

Установлено: касательные напряжения пропорциональны углу сдвига в определенных пределах упругой деформации сдвига. Соотношение — формула закона Гука при сдвиге.

Коэффициент пропорциональности G в формуле закона Гука при сдвиге — модуль сдвига. Модуль сдвига измеряется в МПа, кН/см2, кгс/см2, кгс/мм2. Угол сдвига –безразмерная величина.

Модуль сдвига (G) – это физическая постоянная для материала, характеризующая жесткость при сдвиге. Значение модуля сдвига (G) может быть определено экспериментально.

40. Крутящие моменты и их эпюры.

Крутящий момент, возникающий в поперечном сечении стержня, определяется методом сечений. Крутящий момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к любой из частей стержня. Эпюра крутящих моментов – это график, показывающий изменения крутящего момента по длине вала .

Правило знаков для эпюры крутящих моментов

При построении эпюры крутящих моментов используется правило знаков:

Скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки при взгляде на поперечное сечение, вызывает в этом сечении положительный крутящий момент, направленный по ходу часовой стрелки, противодействуя скручивающему моменту.

41. Условие прочности при кручении

Условие прочности при кручении: прочность вала считается обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых напряжений на кручение:

Формула служит для проверочного расчета вала на прочность.

Допускается незначительное (до 5 %) превышение расчетного напряжения над допускаемым напряжением .

При проектировочном расчете требуемый полярный момент сопротивленияопределяется по формуле условия прочности при кручении:

Для вала постоянного диаметра опасным сечением при кручении является сечение, в котором возникает наибольший крутящий момент. Если сечение вала не постоянно по длине, может оказаться, что наибольшие касательные напряжения возникают не там, где крутящий момент максимален. Следовательно, в этом случае вопрос об опасном сечении должен быть исследован дополнительно.

Допускаемое напряжение :

для пластичных материалов назначается в зависимости от предела текучести ( ) при кручении (сдвиге):

для хрупких материалов назначается в зависимости от предела прочности:

42. Понятие о расчете на жесткость при кручении.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии

При расчете на растяжение или сжатие одного элемента конструкции можно считать уже определенными сочетание нагрузок (р = 1) и уровень надежности (у„ = 1). Тогда условие прочности (5.20) для случая растяжения (сжатия) можно записать в виде

С помощью выражения (5.23) могут быть решены задачи следующих трех типов.

1. Расчет на прочность существующей конструкции или ее элемента с определенными размерами и известной нагрузкой. При этом определяют напряжения в расчетном сечении и сравнивают их с расчетным сопротивлением по формуле (5.23). Задачи этого типа называют поверочным расчетом.
2. Определение предельной нагрузки на конструкцию или ее элемент. При этом по формуле (5.22) определяют значение предельной продольной силы и по ней — действующую нагрузку. Задачи этого типа называют определением грузоподъемности.
3. Определение размеров поперечного сечения элемента конструкции при известном материале и действующей нагрузке:

Задачи этого типа называют подбором сечений.

При расчете по второй группе предельных состояний условие жесткости (5.21) при растяжении (сжатии) с учетом (5.10) в общем случае принимает вид

а в случае действия одной силы на стержень постоянного сечения

где [Д/] — допускаемое изменение длины стержня при действии нормативных нагрузок.

Рассмотрим несколько примеров расчета стержней на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Требуется определить допускаемую нагрузку [ /•’] на кирпичный столб сечением 64 х 64 см (2,5 х 2,5 кирпича) и высотой Н= 2,4 м из условия прочности кладки на сжатие. Расчетное сопротивление кладки Л = 1,15 МПа, плотность у = 17,65 кН/м 3 , коэффициент условия работы у_с = 1,0.

Решение. 1. Площадь поперечного сечения столба Л_ш = 0,64 • 0,64 = 0,4096 м 2 .

2. Наибольшая сжимающая сила в основании столба N= [Т| + уАН= [Т| + 17,65 • 0,4096 • 2,4 = F + 17,35 кН.
3. На основании условия (5.22) имеем N=[F+ 17,35 5 МПа = 2,06 • 10® кПа (см. прил. 1). Коэффициент условия работы у_с = 1,0, коэффициент надежности по нагрузке уг = 1,1.

Решение. 1. Проведем сечение по тягам 1 и 2 (рис. 5.17, б) и, приведя распределенную нагрузку к равнодействующей R_q = ql= 5q, определим из условий равновесия усилия в тягах, выраженные через значение нагрузки q.

JV) > iV₂, значит удлинение стержня 1 будет больше удлинения стержня 2.

2. Площадь сечения стержней тяги A_nt= кг 2 = п ? 0,01 2 = 3,14 • 10 -4 м 2 .
3. Жесткость тяги ЕА = 2,06 • 10 8 • 3,14 • 10″ 4 = 6,47 • 10 4 кН.
4. Удлинение тяги 1 согласно формуле (5.9)

А/, = ЛУ, / ЕА- 4,25*7 • 2/6,47 • 10 4 = 1,314*7 • 10 4 м.

На основании (5.26) можем записать:

А/, = 1,314*7 • 10 4 4 = 19 кН/м, а значение сосредоточенной силы (по условию задачи)

[F] = 0,5*7/ =0,5- 19 -5 = 47,5 кН.

5. Расчетные значения нагрузок:

F = [F] _У/ = 47,5 • 1,1 = 52,25 кН;

*7 = [ 4 = 281,2 • 10 3 кПа,

т.е. условие прочности (5.23) выполняется, так как а = 281,2 МПа г , (рис. 5.18, 6). Плечо до силы ЛГ, из точки С h = 1 • cos45° = 0,7071 м.

Величину усилия найдем из уравнения

?Л/ПРАВ _{= 0}; 40-2 +N, 0,7071 = 0, N_x =-113,14 кН (сжатие).
2. Требуемая площадь поперечного сечения согласно (5.24)

А_ф = а? > ЛГ, / (R_c y_c) = 113,4/(14000 ? 1) = 0,0081 м2,

откуда а = ^0,0081 = 0,09 м. Принимаем а = 9 см.

Требуется проверить прочность ступенчатого стержня (рис. 5.19, а). Материал — чугун марки СЧ15. Расчетные сопротивления (см. ирил. 4) на сжатие и растяжение соответственно R₍. = 160 МПа и R_<= 55 МПа.

Решение. 1. Определим горизонтальную опорную реакцию в точке А.

Хх = 0; -Н_А + 65 — 40 = 0, Н_А = 25 кН.

2. Назначим расчетные участки бруса. Границами расчетных участков будут места ступенчатого изменения сечения бруса и точки приложения внешних нагрузок. Таким образом, для бруса имеем три расчетных участка (рис. 5.19, б).
3. Определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим эпюру N.

Участок 1. N = Х.Р ЛЕВ = 25 кН.

Участок 2. N₂ = 5>ев = 25 — 65 = -40 кН.

Участок 3. N₃ = N₂ = -40 кН.

Эпюра продольных сил N, построенная по полученным данным, показана на рис. 5.19, в.

4. Площади поперечных сечений стержня по участкам:

А, =А₂ = л ? 0.015 2 ₌ 7,07 ? 10-4 м 2 ; А₃ = л • 0,01 2 = 3,14 • 1 2 .

5. Определим нормальные напряжения на расчетных участках и построим эпюру напряжений о.

Участок 1.a_i=N_i/A_l = 25/7,07- 10 4 = 3,536- 10’* кН/м 2 = 35,36 МПа.

Участок 2. а, = N₂ /A₂ = -40/7,07 10 4 = -5,658 • 10 4 кН/м 2 = -56,58 МПа.

Участок 3. ст₃ = N₃ /A₃ = -40/3,14 1 0 4 = -12,739104 кН/м 2 = -127,39 МПа.

Эпюра напряжений ст показана на рис. 5.19, г.

6. Как видно из построенной эпюры напряжений, проверке прочности подлежат сечения на первом (на растяжение) и третьем (па сжатие) участках, для которых

Условие прочности при растяжении-сжатии

max = | | [ ]

15. Центральное растяжение и сжатие . Условие прочности. Три типа задач при центральном растяжении (сжатии).

Условие прочности позволяет решать три типа задач:

1. Проверка прочности (проверочный расчет)

2. Подбор сечения (проектировочный расчет)

3. Определение грузоподъемности (допускаемой нагрузки)

16. Учёт собственного веса при центральном растяжении сжатии. Понятие о предельной длине.
Учет собственного веса при растяжении (сжатии)

Деформации при центральном растяжении и сжатии. Закон Гука.

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе.

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости.

Простейшим видом деформации являются деформации растяжения и сжатия. При малых деформациях (|x|

На рис. 1 показана диаграмма для малоуглеродистой стали. Она построена в системе координат F-Δl, где:

F — продольная растягивающая сила, [Н];

Δl — абсолютное удлинение рабочей части образца, [мм]

Рис. 1 Диаграмма растяжения стального образца

Как видно из рисунка, диаграмма имеет четыре характерных участка:

I — участок пропорциональности;

II — участок текучести;

III — участок самоупрочнения;

IV — участок разрушения.

20.Эксперементальные исследования механических свойств материалов. Повторные нагрузки и разгрузки. Явление наклепа.

Наклепом называют процесс повышения прочности и изменения упругих свойств металлических элементов путем пластического деформирования.

Если при испытании на растяжение стальной образец разгрузить не доводя до разрушения (точка М на рис.1), то в процессе разгрузки зависимость между силой F и удлинением Δl изобразится прямой MN. Опыт показывает, что эта прямая параллельна прямой ОА. При разгрузке деформация полностью не исчезает. Она уменьшается на величину упругой части удлинения (отрезок равный Δl_у).

Отрезок ОN диаграммы растяжения представляет собой остаточное удлинение (отрезок равный Δl_ост). Его называют также пластическим удлинением, а соответствующую ему деформацию – пластической деформацией. Таким образом,

Если образец был нагружен в пределах участка ОА и затем разгружен, то удлинение будет чисто упругим, и Δl_ост=0.

При повторном нагружении образца диаграмма возвращается по прямой NM и далее проходит по кривой MDE (рис. 1) так, как будто промежуточной разгрузки и не было.

Следовательно, при повторных нагружениях образца, предварительно растянутого до возникновения в нём напряжений, больше предела текучести, предел пропорциональности повышается до того уровня, которого достигли напряжения при предшествующей нагрузке. Если между разгрузкой и повторным нагружением был перерыв, то предел пропорциональности повышается ещё больше.

Следует отметить, что диаграмма NMDE, получаемая при повторном нагружении, не имеет площадки текучести, поэтому для образца, претерпевшего разгрузку и повторное нагружение, определяется условный предел текучести (σ_0.2),который, очевидно, выше предела текучести при первичном нагружении.

Явление повышения предела пропорциональности и снижения пластичности материала при повторных нагружениях называется наклёпом.

Наклёп во многих случаях является нежелательным явлением, так как наклёпанный материал становится более хрупким. Поэтому наклёп часто снимают отжигом – нагревом до определённой температуры.

В целом ряде случаев наклёп полезен и его создают искусственно, например, в деталях подвергающихся воздействию переменных нагрузок и при производстве арматуры.